Good Limits from Bad Data - Límites de Control

Good Limits from Bad Data

                                                                                                               

Good Limits from Bad Data

 

Existen formas correctas e incorrectas de calcular los límites. Muchas publicaciones técnicas y muchos programas informáticos utilizan métodos incorrectos.

 

Parte I: Buenos límites a partir de datos erróneos

 

Charles, de la oficina central, estaba presionando al gerente de la planta para que comenzara a utilizar gráficos de control. El gerente de la planta no sabía por dónde empezar, así que le preguntó qué debería trazar. Charles respondió que tal vez quisiera comenzar con los datos que ya estaban recopilando en la planta.

Para empezar, revisaron la hoja de registro para los datos, un registro en el que los operadores habían anotado los datos sin orden. Charles comenzó a trazar los datos en una hoja de papel cuadriculado. Después de llenar la primera página, calculó los límites para un gráfico XmR. Por supuesto, el gráfico estaba fuera de control y el proceso era impredecible. Aunque cada dato se anotaba, el registro no les permitía observar datos consistentes. Los datos impredecibles significaban que el comportamiento de las observaciones cambiaba de manera impredecible, lo que se traducía en una sensación poco estable del proceso.

 

¿Cómo pudo Charles determinar que el proceso era impredecible cuando estaba usando los datos reales del proceso para calcular los límites?

 

La respuesta tiene que ver con la forma en que se calculan los límites. Existen formas correctas e incorrectas de calcular los límites. Esta columna ilustra esta diferencia para el gráfico XmR.

 

Tabla # 1: Observaciones:

 

920	925	830	855	905	925	945
915	940	940	910	860	865	985
970	940	975	1,000	1,035	1,040

 

La línea central del gráfico X es, por lo general, el promedio de los valores individuales. Para estos 20 valores, el promedio es 934 (también se puede usar la mediana como línea central).

 

Ambos métodos correctos para calcular los límites del gráfico XmR comienzan con el cálculo de los rangos móviles. Los rangos móviles son las diferencias entre valores sucesivos. Por convención, siempre son positivos.

 

Para los 20 datos anteriores, los 19 rangos móviles son:

 

Tabla # 2: Rangos:

	5	95	25	50	20	20
30	25	0	30	50	5	120
15	30	35	25	35	5

 

Método Correcto # 1:

 

El método más común para calcular los límites de los gráficos XmR es utilizar el rango móvil promedio, que se suele denotar con uno de los símbolos: R o mR.

 

Los límites para el gráfico X se hallarán multiplicando el rango móvil promedio por el factor de escala de 2.660 y, a continuación, sumando y restando este producto de la línea central. Para estos datos, el rango móvil promedio es: mR = 32.6, por lo que al multiplicar por 2.660 se obtiene 86.8, y los límites para los valores individuales se establecen en: 934 ± 86.8 = 847.2 a 1,020.8.

 

El límite superior del gráfico de rango móvil se obtiene multiplicando el rango móvil promedio por el factor de escala 3.27. Para estos datos, este límite es 106.7. La Figura 1 muestra el gráfico XmR para estos 20 datos.

                                               Figura # 1:

En el gráfico X (Figura # 1), se muestran tres señales de ruido o datos separados con variación impredecible, ya que se utilizaron los datos del proceso para calcular los límites.

 

 Método Correcto # 2:

 

El otro método correcto para calcular los límites de un gráfico de valores individuales es utilizar el rango móvil de la mediana, que se suele denotar con uno de los símbolos: R o mR. Los límites para el gráfico X se pueden encontrar multiplicando el rango móvil medio por el factor de escala de 3.14 y luego sumando y restando este producto de la línea central. Para estos 19 rangos móviles, el rango móvil medio es mR = 25.

 

Al multiplicar por el factor de escala de 3.14 se obtiene 78.5 y los límites para el gráfico X se establecen en: 934 ± 78.5 = 855.5 a 1,012.5. El límite superior para el gráfico mR es: 3.87 x 25 = 96.8.

 

Estos límites son ligeramente más amplios que los de la Figura 1. Sin embargo, los mismos puntos que quedaron fuera de los límites de la Figura 1, también están quedando fuera de los límites basados ​​en el rango móvil medio. No existe ninguna diferencia práctica entre estos dos conjuntos de límites calculados correctamente.

 

Un método Incorrecto:

 

Un método común, pero incorrecto, para calcular los límites de un gráfico X es utilizar alguna medida de dispersión que se calcula utilizando todos los datos. Por ejemplo, los 20 datos se podrían introducir en una calculadora estadística o en una hoja de cálculo y se podría calcular la desviación estándar, que para este conjunto de datos es "s", s = 56.68.

 

Luego, este número se multiplica erróneamente por 3.0 (desviaciones estándar) y el producto se suma y se resta a la línea central para obtener límites incorrectos para el gráfico X: 934 ± (3*56.68) = Límite Inferior = 764 a Límite Superior = 1,104.

 

Figura 2: Muestra estos límites, según 3 σ

  

 Observe que el gráfico de la Figura 2 no detecta las señales ocultas en estos datos. Es esta incapacidad para detectar las señales de un proceso nos indican que este enfoque es incorrecto.

 

Esta es una metodología de cálculo de una medida de dispersión, más que una elección de qué metodología utilizar para evaluar nuestra dispersión de datos consistentemente.

 

Conclusión

 

Las formas correctas de calcular los límites nos permitirán detectar las “señales” dentro de los datos, a pesar de que estemos utilizado datos fuera de límites de control en nuestros cálculos. Siempre se basan en una estadística de dispersión de datos de media (promedio) o mediana.

 

Las formas incorrectas de calcular los límites inevitablemente darán como resultado límites inflados y, por lo tanto, tienden a ocultar las señales que estamos buscando. Las formas incorrectas tienden a basarse en una única medida de dispersión que se calculó utilizando todos los datos.

 

Esta distinción entre las formas correctas e incorrectas de calcular límites no se ha aclarado en la mayoría de los libros sobre SPC. Aún muchos artículos y software estadísticos utilizan métodos incorrectos, debido a la falta de experiencia durante años. La enseñanza del SPC está fuera de control.

 

 

 Parte II: Buenos límites a partir de datos erróneos

 

En esta parte mostramos la diferencia entre las formas correctas e incorrectas de calcular límites para gráficos promedio.

 

Comenzamos con un conjunto de datos que consta de k = 6 subgrupos de tamaño n = 4

 

Tabla # 3: Datos de 6 subgrupos, con 4 tipos de datos (tamaño del subgrupo = 4)

 

Subgrupo	1	2	3	4	5	6
Datos	4	0	8	6	3	8
	5	2	4	9	2	7
	5	1	3	9	0	9
	4	5	7	7	3	9
Promedio	4.5	2.0	5.5	7.75	2.0	8.25
Rangos	1	5	5	3	3	2

 

La línea central del gráfico de promedios (gráfico de barras X) se considera comúnmente como el promedio general. Para estos datos, el promedio general es 5.00.

 

Gráficos X barra (promedio) bien hechos

 

El método más común para calcular los límites de los gráficos de promedios es utilizar el rango promedio. Los límites del gráfico de promedios se pueden encontrar multiplicando el rango promedio por el factor de escala A₂ y luego sumando y restando este producto de la línea central.

 

El rango promedio (del total de datos) es 3.167 y el valor de A₂ (ver tabla) del tamaño del subgrupo n = 4 es A_{2 =} 0.729, y los límites de control del gráfico X barra son: 5.00 ± 2.31 = 2.69 a 7.31.

 

En lugar de utilizar A₂ multiplicado por el rango promedio, puede utilizar cualquiera de varias alternativas siempre que utilice los factores de escala correctos. Algunas sustituciones adecuadas son:

•   A₄ multiplicado por la mediana del rango (2.27)
• A₁ multiplicado por el promedio de la raíz cuadrada promedio de la desviación (2.44)
• A₃ multiplicado por el promedio de la desviación estándar (2.44).

 

Si bien existen otras alternativas válidas, las cuatro anteriores son las que se utilizan con más frecuencia. Las tablas de los factores de escala se encuentran en la mayoría de los libros de texto sobre SPC. Independientemente de cuál de las alternativas utilice, el gráfico es el mismo: los subgrupos 2 y 5 tienen promedios por debajo del límite inferior, y los subgrupos 4 y 6 tienen promedios por encima del límite superior.

 

Por lo tanto, todas las formas correctas de calcular los límites para un gráfico de promedios permiten obtener buenos límites para medir datos erróneos, es decir, podemos detectar la falta de control estadístico incluso aunque estemos utilizando los datos fuera de control para calcular los límites.

 

Por supuesto, esta propiedad está sujeta al requisito de que la sub-agrupación sea racional, es decir, que cada subgrupo sea lógicamente homogéneo. Como observó Shewhart, la cuestión de la sub-agrupación es esencialmente una cuestión de criterio. Basándonos en el contexto de los datos, poder argumentar que los valores recopilados en conjunto dentro de cualquier subgrupo pueden considerarse como si hubieran sido recopilados en las mismas condiciones.

 

Gráficos X barra (promedio) mal hechos

 

El error más común que se comete al calcular los límites para un gráfico de promedios es el uso de una única medida de dispersión calculada utilizando todos los datos. Si se ingresaran los 24 valores en una hoja de cálculo o un software estadístico y se calculara la desviación estándar, y obtendríamos el valor: s = 2.904.

 

Cuando se utiliza (de manera inapropiada) esta medida global de dispersión para calcular los límites de un gráfico promedio se divide por la raíz cuadrada del tamaño del subgrupo y se multiplica por 3,0. Esto daría como resultado un valor de 4.356, lo que arrojaría límites incorrectos para el gráfico promedio de: 5.00 ± 4.36 = 0.64 a 9.36.

 

Este método de cálculo de límites para el gráfico de promedios es incorrecto porque da como resultado límites que no detectan las señales contenidas en los datos.

Este enfoque le proporciona límites incorrectos a partir de datos incorrectos porque el cálculo de una única medida de dispersión utilizando todos los datos supone implícitamente que los datos son globalmente homogéneos. En resumen, este cálculo supone que no existe la posibilidad de que haya señales dentro de los datos y, por lo tanto, se asegura de que no encuentre ninguna señal.

 

 Los Gráficos X barra (promedio) muy mal hechos

 

El segundo error más común al calcular los límites para un gráfico de promedios es el uso de una única medida de dispersión calculada utilizando todos los promedios de los subgrupos.

 

Si los promedios de los seis subgrupos se ingresaran en una hoja de cálculo o en una calculadora estadística y se calculara la desviación estándar, obtendríamos el valor:  s = 2.706. Debido a que esta es la desviación estándar de los promedios de los subgrupos, se multiplica (inapropiadamente) por 3.0 y se utiliza para construir límites incorrectos para el gráfico de promedios de: 5.00 ± (3.0) (2.706) = 5.00 ± 8.12 = 3.12 a 13.12.

 

Este método de cálculo de límites no solo oculta las señales, sino que las borra. Una vez más, obtenemos límites incorrectos a partir de datos incorrectos. El cálculo de la desviación estándar de los promedios de los subgrupos supone implícitamente que los promedios de los subgrupos son globalmente homogéneos; es decir, no difieren excepto por el ruido. Debido a que este método supone que no existe la posibilidad de que haya señales dentro de los datos, se asegura de que no se encuentre ninguna señal.

 Conclusión

 

La única forma de obtener buenos límites a partir de datos erróneos es utilizar los métodos estadísticos correctos. Todos estos métodos correctos se basan en una estadística de dispersión promedio o una estadística de dispersión mediana y el factor de escala adecuado.

 

Los métodos erróneos tienden a basarse en una única medida de dispersión calculada en una sola pasada, utilizando todos los datos o todos los promedios de los subgrupos.

 

La distinción entre las formas correctas e incorrectas de calcular los límites fue hecha por primera vez por Shewhart en la página 302 de su libro, Economic Control of Quality of Manufactured Product (ASQC Quality Press).

 

¿Cómo se puede saber la diferencia?

 

„  Se puede utilizar cualquier conjunto de datos fuera de control para evaluar los softwares estadísticos: deben coincidir con los límites calculados manualmente.

„  Se pueden observar las fórmulas o los cálculos utilizados: si los límites se basan en cualquier medida de dispersión que no tenga una barra encima, entonces los límites son incorrectos.

 

Parte III: Buenos Límites para malos datos

 

Cuando usar el muestreo racional y la sub-agrupación racional, obtendrá gráficos poderosos.

 

Ahora me gustaría analizar cómo puede hacer que los gráficos funcionen para usted.

 

El cálculo de los límites de control no es el final del ejercicio, sino más bien el comienzo. La principal ventaja de los gráficos de control es la forma en que permiten a las personas separar de manera confiable las señales potenciales del ruido probable que es común en todos los tipos de datos. Esta capacidad de caracterizar el comportamiento de un proceso como predecible o impredecible y, por lo tanto, saber cuándo intervenir y cuándo no, es el resultado real del uso de los gráficos de Shewhart. Los cálculos son parte de las técnicas, pero el objetivo real es la comprensión, no los números.

 

Para este fin, deberá organizar sus datos de manera apropiada para obtener la comprensión. Esta organización adecuada de los datos se ha denominado muestreo racional y sub-agrupamiento racional.

 

En primer lugar, debe conocer el contexto de los datos. Esto implica los detalles de cómo se obtuvieron los datos, así como cierta apreciación del proceso o las operaciones representadas por los datos.

 

El muestreo racional implica recopilar datos de tal manera que las características interesantes del proceso sean evidentes en los datos. Por ejemplo, si está interesado en evaluar el impacto de una nueva política en las operaciones de una sola oficina, deberá recopilar datos que pertenezcan a esa oficina, en lugar de a una región entera.

 

El subagrupamiento racional tiene que ver con la forma en que se organizan los datos con fines de graficarlos. Esto está estrechamente vinculado con las formas correctas de calcular los límites. Con gráficos de promedio y rango (Gráficos de  y R), habrá “k” subgrupos de datos. La forma correcta de calcular los límites para estos gráficos implica el cálculo de alguna medida de dispersión dentro de cada subgrupo (como el Rango para cada subgrupo). Estas “k” medidas se combinan luego en una medida promedio de dispersión (como el  - Rango promedio) o una medida de la mediana de dispersión (como un Rango de la Mediana), y esta medida combinada de dispersión se utiliza luego para calcular los límites.

 

El objetivo del gráfico de control es separar el ruido probable de las señales potenciales. La variación dentro de los subgrupos se utilizará para establecer los límites, que utilizaremos como filtros. Por lo tanto, querremos que la variación dentro de los subgrupos represente el ruido probable, es decir, queremos que cada subgrupo sea lógicamente homogéneo. Shewhart dijo que deberíamos organizar los datos en subgrupos en función de nuestro juicio de que los datos dentro de cualquier subgrupo se recopilaron esencialmente en las mismas condiciones.

 

Para tener una subagrupación significativa, debe tener en cuenta el contexto de los datos al crear los subgrupos. Tiene que organizar los datos en subgrupos de manera activa e inteligente para tener gráficos de promedio y rango efectivos. Cuando colocas dos o más valores juntos en un único subgrupo, estás juzgando que, para tus propósitos, estos datos solo difieren debido al ruido de fondo. Si tienen el potencial de diferir debido a alguna señal, entonces no pertenecen al mismo subgrupo.

 

Es por eso por lo que el gráfico de promedios busca diferencias entre los subgrupos mientras que el gráfico de rangos verifica la coherencia dentro de los subgrupos.

 

Esta diferencia entre los gráficos es inherente a la estructura de los cálculos: ignórala bajo tu propio riesgo.

 

Pero ¿qué sucede si cada valor tiene el potencial de ser diferente de sus vecinos, como sucede con los valores mensuales o semanales? Con datos recopilados periódicamente, el gráfico preferido es el gráfico para valores individuales y un rango móvil (Gráfico XmR). Aquí, cada punto puede hundirse o flotar por sí solo. El enfoque de rango móvil para calcular límites utiliza la variación a corto plazo para establecer límites a largo plazo. En este sentido, es como el gráfico de promedios, donde utilizamos la variación dentro de los subgrupos para establecer los límites para la variación entre los subgrupos.

 

Si bien las formas correctas de calcular límites le permitirán obtener buenos límites a partir de datos incorrectos, el gráfico no será mejor que su organización de los datos. Cuando utilice un muestreo racional y una sub-agrupación racional, tendrá gráficos poderosos. Si organiza sus datos de manera deficiente, puede terminar con gráficos débiles que oculten las señales.

 

 

Donald J. Wheeler es un consultor estadístico conocido internacionalmente y autor de Understanding Variation: The Key to Managing Chaos y Understanding Statistical Process

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